Darstellungsformen
Kartesische Koordinaten: $ z = a+i \ b $
Polardarstellung: $ z = r \ (cos(\varphi) + i \ sin(\varphi)) $
Euler’sche Form: $ z = r \ e^{i\varphi} $
$ r := \sqrt{a^2 + b^2} $
$ \varphi := arctan(\frac{b}{a}) $
Rechenregeln (nur das wichtigste)
Es gilt: $ z_1 = a_1 + i \ b_1 $ und $ z_2 = a_2 + i \ b_2 $
Addition: $ z_1 + z_2 = a_1 + a_2 + i \ (b_1 + b_2) $
Multiplikation: $ z_1 \cdot z_2 = r_1 \ r_2 \cdot e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)} $
Division: $ \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \cdot e^{i(\varphi_1 – \varphi_2)} $
Zu beachten!
- Es kann vorkommen, dass der berechnete Winkel der Euler’schen Form $z = r e^{i\phi}$ nicht mehr zur kartesischen Darstellung $z = x + yi$ passt. Das liegt daran, dass die arctan-Funktion ($\text{arctan}(y/x)$) nur Werte im Bereich von $-\pi/2$ bis $\pi/2$ liefert. Dadurch geht die Information über den Quadranten verloren, in dem der Punkt $(x, y)$ liegt. Um den korrekten Winkel $\varphi$ zu bestimmen, muss man sich anhand der Vorzeichen von $x$ (Realteil) und $y$ (Imaginärteil) überlegen, in welchem Quadranten sich der „komplexe Drehzeiger“ befindet. Je nach Quadrant muss der berechnete Winkel angepasst werden:
- Im zweiten Quadranten ($x < 0, y > 0$): $\varphi = \pi + \text{arctan}(y/x)$.
- Im dritten Quadranten ($x < 0, y < 0$): $\varphi = \pi + \text{arctan}(y/x)$.
- Im vierten Quadranten ($x > 0, y < 0$): $\varphi = 2\pi + \text{arctan}(y/x)$ (oder $\varphi = -\pi + \text{arctan}(y/x)$ bei Verwendung negativer Winkel).
- Entsprechend müssen also $180^\circ$ ($\pi$) oder ein anderer geeigneter Wert zum Winkel hinzugefügt bzw. subtrahiert werden, sodass die Euler’sche und die kartesische Darstellung miteinander übereinstimmen.
- Der Winkel $ \varphi $ sollte zwischen -180° und +180° liegen. Da die komplexe Zahl als „komplexer Drehzeiger“ aufgefasst werden kann, kann zum Beispiel statt dem Winkel 405° auch der Winkel 405° – 360° = 45° gewählt werden.